函数f(x)=x^2+2x+5 在[t,t+1]上的最小值为ð(t)，求ð(t)的表达式

f(x)=(x+1)^2+4
x≤-1时 f(x)是减函数
x>-1时 f(x)是增函数
f(x)在x=-1时取到最小值:f(-1)=4

t≤-2时 t+1≤-1 f(x)在区间[t,t+1]上是减函数
最小值 g(t)=（t+1+1）^2+4=(t+2)^2+4=t^2+4t+8

-2<t≤-1时 -1<t+1≤0 f(x)在区间[t,t+1]取到最小值f(-1)=4 所以 g(t)=4

t>-1时 t+1>0 f(x)在区间[t,t+1]上是增函数 最小值g(t)=t^2+2t+5

解：
函数f(x)的图像关于直线x=-2对称

(i)若t+1<-2，即t<-3
则函数在区间[t,t+1]为减函数
当x=t+1时，ð(t)=f(x)min=t^2+6t+8

(ii)若t>-2
则函数在区间[t,t+1]为增函数
当x=t时，ð(t)=f(x)min=t^2+2t+5

(iii)若t≤-2≤t+1,即-3≤t≤-2
则当x=-2时，ð(t)=f(x)min=5

综上，
当t<-3时，ð(t)=t^2+6t+8；
当t>-2时，ð(t)=t^2+2t+5；
当-3≤t≤-2时，ð(t)=5。